CTS2023 琪露诺的符卡交换

题意

给定 矩阵 ，包含 各 个，求方案交换若干位置使得每个位置只交换一次，且交换后每行为 的排列。

思路

因为要求行是个排列，所以每行内部的顺序是可以任意调换的。

不妨调换行内的顺序，使得每列为一个 的排列，注意这是不需要交换操作的（我们先假设这可以做到）。

然后交换 与 ，这样每行就为一个 的排列。

证明第一步一定有解，我们每次需要在 行中找到 的排列，假设存在 行，其中值的种类数 满足 ，那么无解（Hall 定理不成立），假定还剩下 列（并且每种值都有 个），根据鸽巢原理一定存在某种值的数量大于 ，矛盾。

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#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510,FSIZE=1<<26,INF=0x7f7f7f7f;
int tn,n,cur[N],a[N],sze,d[N],w[N],p0[N],p1[N],is[N][N],c[N][N];
struct{int n,t,v;}b[N*N];
char BuF[FSIZE],*InF=BuF;
template<typename T>void read(T &x){
    for(;48>*InF||*InF>57;++InF);
    for(x=0;47<*InF&&*InF<58;x=x*10+(*InF++^48));
}
void _add(int x,int y,int z){
    b[sze++]={a[x],y,z};
    a[x]=sze-1;
}
void add(int x,int y,int z){
    _add(x,y,z);
    _add(y,x,0);
}
bool bfs(){
    memset(w,127,sizeof(w));
    for(int h=w[0]=0,t=d[0]=0;h<=t;++h)
        for(int i=cur[d[h]]=a[d[h]];~i;i=b[i].n)
            if(b[i].v&&w[b[i].t]>w[d[h]]+1)
                w[d[++t]=b[i].t]=w[d[h]]+1;
    return(w[n+n+1]<INF);
}
int dfs(int x,int flow){
    if(x==n+n+1) return(flow);
    int used=0,aflow;
    for(int &i=cur[x];~i;i=b[i].n)
        if(w[b[i].t]==w[x]+1&&b[i].v&&(aflow=dfs(b[i].t,min(b[i].v,flow)))){
            b[i].v-=aflow;
            b[i^1].v+=aflow;
            if((used+=aflow)==flow) break;
        }
    return(used);
}
int dinic(){
    int re=0;
    for(;bfs();re+=dfs(0,INF));
    return(re);
}
void work(){
    memset(a,-1,sizeof(a));
    sze=0;
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        add(0,i,0);
        p0[i]=sze-2;
        add(i+n,n+n+1,0);
        p1[i]=sze-2;
        for(int j=1,x;j<=n;++j){
            read(x);
            add(i,x+n,1);
            c[i][j]=sze-2;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            b[p0[j]].v=1;
            b[p0[j]^1].v=0;
            b[p1[j]].v=1;
            b[p1[j]^1].v=0;
        }
        dinic();
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(int k=1;k<=n;++k)
                if(b[c[j][k]^1].v){
                    is[j][i]=k;
                    b[c[j][k]^1].v=0;
                }
    }
    printf("%d\n",n*(n-1)>>1);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            printf("%d %d %d %d\n",i,is[i][j],j,is[j][i]);
}
int main(){
    fread(BuF,1,FSIZE,stdin);
    for(read(tn);tn--;work());
    return(0);
}
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